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title: Kummer定理
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  abbrlink: 5dcc6de2
  date: 2024-01-17 00:00:00

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Kummer定理

设 $v_p(n)$表示 n 的质因数分解中质数 p 的幂次，则：

$v_p(n!)=\sum\limits_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{p^i}\right]$

推论：$\begin{aligned}

v_p(\text{C}_{n+m}^m)&=v_p((n+m)!)-v_p(m!)-v_p(n!) \\ &=\sum\limits_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n+m}{p^i}\right]-\sum\limits_{i=1}^\infty\left[\dfrac{m}{p^i}\right]-\sum\limits_{i=1}^\infty\left[\dfrac{n}{p^i}\right] \\ &=\sum\limits_{i=1}^\infty\left(\left[\dfrac{n+m}{p^i}\right]-\left[\dfrac{m}{p^i}\right]-\left[\dfrac{n}{p^i}\right]\right) \\ \end{aligned}